બધા જ બે વાર વિકલનીય વિધેયો $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ માટે,જ્યાં $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?

વિધેય $f(x) = x^{3} - 4x^{2} + 8x + 11$ માટે અંતરાલ $x \in [0, 1]$ પર લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $c$ ની કિંમત શોધો.

વાસ્તવિક સહગુણકો ધરાવતા બહુપદી $g(x)$ માટે,$m_g$ એ $g(x)$ ના ભિન્ન વાસ્તવિક બીજની સંખ્યા દર્શાવે છે. ધારો કે $S$ એ વાસ્તવિક સહગુણકો ધરાવતી બહુપદીઓનો ગણ છે જે $S = \{(x^2-1)^2(a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3) : a_0, a_1, a_2, a_3 \in \mathbb{R}\}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. બહુપદી $f$ માટે,$f'$ અને $f''$ અનુક્રમે તેના પ્રથમ અને દ્વિતીય ક્રમના વિકલિતો દર્શાવે છે. તો $(m_f + m_{f'})$ ની ન્યૂનતમ શક્ય કિંમત,જ્યાં $f \in S$,કેટલી થાય?

ધારો કે $f$ એવું વિધેય છે જે બધા વાસ્તવિક $x$ માટે સતત અને વિકલનીય છે. જો $f(2) = -4$ અને બધા $x \in [2, 4]$ માટે $f'(x) \geq 6$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સત્ય છે?

ધારો કે $f(x)$ એ $[1, 2]$ પર સતત અને $(1, 2)$ પર વિકલનીય વિધેય છે,જે $f(1) = 2, f(2) = 3$ અને $f'(x) \geq 1$ (બધા $x \in (1, 2)$ માટે) નું પાલન કરે છે. જો $g(x) = \int_1^x f(t) \, dt$ (બધા $x \in [1, 2]$ માટે) હોય,તો $[1, 2]$ પર $g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

ધારો કે $f$ એ $[2,7]$ પર વ્યાખ્યાયિત બહુપદી વિધેય છે. જો $f(2)=3$ અને $(2,7)$ માં તમામ $x$ માટે $f^{\prime}(x) \leq 5$ હોય,તો $x=7$ આગળ $f$ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ શક્ય કિંમત કેટલી છે?